Rychlá navigace: obsah, klávesové zkratky, navigace, vyhledávání.

Vložit nový referát | Diskusní fórum

Spojitá funkce

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23179 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Přidal/a: anonymous
Datum přidání: 12. srpna 2008
Zobrazeno: 5174×
Licence: GNU Free Documentation License
Seznam autorů a změn
Vyloučení odpovědnosti

Příbuzná témata

Vytisknout referát Přidat referát do záložek

Spojitá funkce

Spojitá (červeně) a nespojitá funkce (modře)

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojité funkce jsou v praxi mnohem častější než nespojité, např. v klasické fyzice jsou prakticky všechny používané funkce spojité. Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, integrál apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v bodě x₀ definovat následujícími dvěma podmínkami:

Funkce je v bodě x₀ definována (x₀ patří do definičního oboru).
V bodě x₀ existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:

$lim_{x o x_0}f(x) = f(x_0)$ .

Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.

Obsah

1 Cauchyho definice
2 Heineho definice
3 Spojitost komplexní funkce
4 Bod nespojitosti
5 Stejnoměrná spojitost
- 5.1 Weierstrassova věta
- 5.2 Absolutně spojitá funkce
6 Příklady
7 Vlastnosti
8 Související články

Cauchyho definice

O funkci $f (x)$ řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu $varepsilon > 0$ existuje takové číslo $? > 0$ , že pro všechna x, pro něž platí $| x - a | < ?$ , platí také

$|f(x) - f(a)| < varepsilon$

Velikost čísla $?$ může záviset na volbě čísla $varepsilon$ .

Funkci $f (x)$ označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému $varepsilon > 0$ existuje takové $? > 0$ , že pro všechna $x > a$ (resp. $x leq a$ ), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu a je $|f(x)-f(a)|<varepsilon$ . Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci $f (x i)$ , kde $x 1, x 2,..., x n$ jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě $A = [a 1, a 2,..., a n]$ , pokud ke každému (libovolně malému) číslu $varepsilon>0$ existuje takové číslo $? > 0$ , že pro všechny body $X = [x 1, x 2,..., x n]$ z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku $d (A, X) < ?$ , platí

$|f(x_1,x_2,...,x_n) - f(a_1,a_2,..,a_n)|<varepsilon$

Heineho definice

Nechť $x 0$ je hromadným bodem D(f). Funkce f je spojitá v bodě $x 0$ právě tehdy když $forall lbrace x_n brace , x_n in D(f), x_n ightarrow x_0$ platí $f(x_n) ightarrow f(x_0)$

Spojitost komplexní funkce

O komplexní funkci $f (z)$ říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě $z 0$ komplexní roviny platí

$lim_{z ightarrow z_0} f(z) = f(z_0)$

Je-li funkce $f (z)$ spojitá v každém bodě určité oblasti $mathbf{G}$ , pak říkáme, že je spojitá v $mathbf{G}$ .

Bod nespojitosti

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti.

Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod a, ve kterém má funkce f(x) limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. $lim_{x o a+} f(x) e lim_{x o a-} f(x)$ . Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. $lim_{x o a+} f(x) - lim_{x o a-} f(x)$ , nazýváme skokem funkce v bodě a.

Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod a, v němž neexistuje alespoň jedna z (konečných) jednostranných limit.

Pokud v bodě a existuje konečná limita $lim_{x o a} f(x)=A$ , avšak funkce $f (x)$ není v bodě a definována, nebo je $f(a) e A$ , pak bod a označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce $f (x)$ .

Druhy bodů nespojitosti

Funkci, která je definována na intervalu $langle a,b angle$ , označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Na obrázku je bodem nespojitosti prvního druhu bod b. Bod e je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod c je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu $langle a,d angle$ .

Stejnoměrná spojitost

Mějme funkci $f (x)$ na intervalu $langle a,b angle$ , pro niž k libovolnému $varepsilon>0$ existuje $? > 0$ takové, že pro libovolné dva body $x 1, x 2$ z intervalu $langle a,b angle$ splňující $| x 1 - x 2 | < ?$ platí $|f(x_1)-f(x_2)|<varepsilon$ , pak říkáme, že funkce $f (x)$ je stejnoměrně spojitá na intervalu $langle a,b angle$ .

Weierstrassova věta

Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu $langle a,b angle$ lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v $langle a,b angle$ posloupností polynomů, tzn. k libovolnému $varepsilon>0$ existuje polynom $P (x)$ takový, že $|f(x)-P(x)|<varepsilon$ pro všechna $x in langle a,b angle$ .

Absolutně spojitá funkce

Funkci $f (x)$ označíme jako absolutně spojitou na intervalu $langle a,b angle$ , jestliže k libovolnému $varepsilon>0$ existuje takové $? > 0$ , že pro každý systém intervalů $langle a_1,b_1 angle, langle a_2,b_2 angle, ..., langle a_n,b_n angle$ , pro který je $a leq a_1 leq b_1 leq a_2 leq b_2 leq cdots leq a_n leq b_n leq b$ , a $sum_{i=1}^n (b_i-a_i) < delta$ platí $sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<varepsilon$ .

Je-li funkce $f (x)$ absolutně spojitá na intervalu $langle a,b angle$ , pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.

Příklady

Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle

Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla).
Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0:

I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn -0,001 = -1, ale sgn 0,001 = 1.
Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle.
Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.

Vlastnosti

Má-li funkce $f (x)$ v bodě a konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
Pokud je funkce $f (x)$ spojitá v bodě a a funkce $g (y)$ spojitá v bodě $b = f (a)$ , pak složená funkce $g (f (x))$ je spojitá v bodě a.
Je-li funkce $f (x)$ spojitá na $langle a,b angle$ , pak na $langle a,b angle$ existuje alespoň jeden bod $x_1 in langle a,b angle$ takový, že $f(x_1) ge f(x)$ pro všechna $x in langle a,b angle$ . Jedná se o maximum funkce $f (x)$ na intervalu $langle a,b angle$ . Současně také existuje alespoň jeden bod $x_2 in langle a,b angle$ takový, že $f(x_2) leq f(x)$ pro všechna $x inlangle a,b angle$ . Jedná se o minimum funkce $f (x)$ na intervalu $langle a,b angle$ . Funkce spojitá na intervalu $langle a,b angle$ je tedy na tomto intervalu také ohraničená.

Související články

Vytisknout referát Přidat referát do záložek

Wi
hrosik | 21. července 2011

kipedie?

Reagovat

Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Překlady levně a kvalitně
Účetnictví
Společenské hry - společenské deskové hry
Tvorba www stránek - Webové stránky, SEO
Puzzle-prodej.cz - puzzle na prodej Ravensburger
Puzzle
Seminární práce
SMS zdarma
Na-mobil.cz
Dějepis.info
Referáty-seminárky.sk

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!

TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!