Singularita (geometrie)

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23181 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata

Vytisknout referátPřidat referát do záložek

Singularita (geometrie)

V geometrii se jako singularita (singulární bod) takový bod křivky, plochy nebo prostoru, kterému lze přiřadit dvě různé souřadnice. V opačném případě se jedná o regulární (obecný, obyčejný) bod.

Obsah

Singularity křivky

Jsou-li v daném bodě křivky určené parametrickými rovnicemi x = x(t),y = y(t),z = z(t) její derivace spojité, přičemž {left(frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t} ight)}^2 + {left(frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}t} ight)}^2 + {left(frac{mathrm{d}z}{mathrm{d}t} ight)}^2 > 0 a danému bodu nepřísluší dva různé parametry t1 a t_2 eq t_1, pak takový bod křivky označujeme jako regulární bod křivky. V opačném případě se jedná o singulární bod křivky.

Odstranitelná singularita

Jestliže na křivce vyjádřené parametrickými rovnicemi x = x(t),y = y(t),z = z(t) s parametrem t existuje singulární bod, přičemž křivku je možno vyjádřit parametrickými rovnice s parametrem t^prime tak, že odpovídající bod je regulární, pak hovoříme o odstranitelné singularitě.

Vícenásobný bod

Vícenásobný bod křivky.
Vícenásobný bod křivky.

Pokud různým hodnotám parametru t křivky přísluší jeden jediný bod [x0,y0,z0], tzn. křivka sama sebe v daném bodě protíná, pak takový singulární bod označujeme jako vícenásobný. V případě přesně určeného počtu protnutí křivky hovoříme o bodě dvojnásobném, trojnásobném, atd.

Typy singularit

Prochází-li regulárním bodem křivky přímka, pak pro všechny přímky s výjimkou tečny je tento průsečík jednoduchý. Tečna je jediná přímka, pro niž je tento průsečík nejméně dvojnásobný.


Singulárním bodem křivky prochází nekonečně mnoho přímek, které mají tento bod za průsečík s danou křivkou za několikanásobný, alespoň dvojnásobný.

Singularity rovinné křivky

Dvojnásobným bodem [x0,y0] rovinné křivky F(x,y) = 0 prochází pouze dvě přímky, které mají v daném bodě s křivkou styk nejméně trojnásobný. Směrnici k těchto dvou přímek určuje rovnice

frac{part^2 F(x_0,y_0)}{part x^2} + 2kfrac{part^2 F(x_0,y_0)}{part xpart y} + k^2 frac{part^2 F(x_0,y_0)}{part y^2} = 0

Řešením získáme směrnice k1,k2 tečen křivky v jejím dvojnásobném bodě [x0,y0].

Pokud je v daném bodě splněna podmínka

frac{part^2 F}{part x^2}frac{part^2 F}{part y^2} - frac{part^2 F}{part xpart y} <0,

pak existují dvě různé reálné tečny, tzn. k_1 eq k_2. Takový bod se nazývá uzlem křivky.

Je-li v daném bodě splněna podmínka

frac{part^2 F}{part x^2}frac{part^2 F}{part y^2}-frac{part^2 F}{part xpart y}=0,

pak existují dvě reálné splývající tečny, tzn. k1 = k2. Daný bod může být buď tzv. hrotem (bodem vratu) křivky nebo může jít o bod, v němž se křivka dotýká sama sebe, tzv. bod samodotyku.

Pokud je v daném bodě splněna podmínka

frac{part^2 F}{part x^2}frac{part^2 F}{part y^2}-frac{part^2 F}{part xpart y}>0,

pak v daném bodě křivky neexistují reálné tečny. Takový bod se nazývá izolovaným bodem.

U transcendentních křivek se mohou vyskytovat i jiné druhy singulárních bodů. Může jít např. o koncový bod nebo úhlový bod.

Uzel křivky.

Bod vratu křivky.

Bod samodotyku křivky.

Izolovaný bod křivky.

Koncový bod křivky.

Úhlový bod křivky.

Související články


Vytisknout referátPřidat referát do záložek

Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?


Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!