Cyklická grupa
Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23181 referátů a seminárek)
Informace o referátu:
- Přidal/a: anonymous
- Datum přidání: 23. srpna 2008
- Zobrazeno: 3797×
- Licence: GNU Free Documentation License
- Seznam autorů a změn
- Vyloučení odpovědnosti
Příbuzná témata
Cyklická grupa
V matematice konkrétně v teorii grup se pojemem cyklická grupa označuje grupa, která může být generována jedním jediným prvkem (to znamená, že v grupě existuje prvek a tak, že každý prvek grupy je mocninou a). Tento prvek se nazývá generátor cyklické grupy.
Cyklická grupa může mít více než jeden generátor. Například grupa všech celých čísel mod 5 se sčítáním má čtyři generátory: 1, 2, 3 a 4.
Obsah |
Definice
Grupa (G,·) je cyklická právě tehdy, když existuje g?G takový, že G={gn|n?Z}; kde g0=1, gn=g·gn-1, g-n=(gn)-1. Takovému g se říká generátor.
Základní vlastnosti cyklických grup
Každá cyklická grupa je automaticky Abelova, neboť generátor komutuje sám se sebou. To je důsledkem pravidla asociativity, které platí v každé grupě.
Nechť A,B jsou dvě konečné cyklické grupy, které mají stejný počet prvků. Pak tyto dvě grupy jsou izomorfní, neboť stačí zobrazit generátor jedné grupy na generátor druhé.
Příklady cyklických grup
Každá konečná grupa, která má prvočíselný počet prvků, je cyklická. Plyne to z Lagrangeovy věty.
Cyklické však mohou být i grupy s neprvočíselným počtem prvků. Například každá grupa
(kde operace +, - jsou brány mod n) je cyklická.
Příkladem nekonečné cyklické grupy je grupa celých čísel se sčítáním
Tato grupa má dva generátory 1,-1. Naproti tomu grupa reálných čísel na sčítání není cyklická. Všechny nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní grupě celých čísel.
Mezi významné cyklické grupy patří grupy jednotek v některých okruzích (tyto grupy jsou grupami vzhledem k násobení, ne ke sčítání).
Dalším příkladem cyklických grup jsou grupy symetrií pravidelného n-úhelníka vůči operaci skládání zobrazení.
Věty o cyklických grupách
- Každá konečná podgrupa multiplikativní grupy libovolného tělesa je cyklická. Jednoduchý důkaz vychází z vlastností Eulerovy funkce a ze skutečnosti, že polynom nad tělesem nemůže mít více kořenů, než je jeho stupeň.
- Každá konečná cyklická grupa řádu n má právě
různých generátorů, kde je Eulerova funkce.
- Všechny sčítací grupy
jsou cyklické. Naproti tomu multiplikativní grupy jednotek 
jsou cyklické jen v následujících případech: n = 2,n = 4,n = pk,n = 2pk, p liché prvočíslo a k přirozené číslo.
Odkazy
Literatura
- Drápal, A.: Úvod do teorie grup
- Koblitz, N.: A Short Course in Cryptography and Number Theory