Cramerovo pravidlo

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23181 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata

Vytisknout referátPřidat referát do záložek

Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Obsah

Postup

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejný počet neznámých jako je počet rovnic. Označme matici soustavy mathbf{A}. Dále označme mathbf{A}_i jako matici, kterou získáme z matice mathbf{A}, nahradíme-li v ní i-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

mathbf{A} = egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} end{pmatrix}
mathbf{B} = egin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end{pmatrix} ,

pak má mathbf{A}_i tvar

mathbf{A}_i = egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & cdots & cdots & cdots & ddots & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{m,i-1} & b_m & a_{m,i+1}& cdots & a_{mn} end{pmatrix}


Pokud je determinant matice soustavy nenulový, det mathbf{A} eq 0, tzn. matice mathbf{A} je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

x_i = frac{det mathbf{A}_i}{det mathbf{A}}

pro i = 1,2,...,n.

Příklad

Úkolem je řešit soustavu rovnic

x + y = 3
x - 2y = 1

Determinant matice soustavy je

det mathbf{A} = egin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & -2 end{vmatrix} = -3

Poněvadž je det mathbf{A} eq 0, lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

det mathbf{A}_1 = egin{vmatrix} 3 & 1 \ 1 & -2 end{vmatrix} = -7
det mathbf{A}_2 = egin{vmatrix} 1 & 3 \ 1 & 1 end{vmatrix} = -2

Řešení má tedy tvar

x = frac{det mathbf{A}_1}{det mathbf{A}} = frac{-7}{-3} = frac{7}{3}
y = frac{det mathbf{A}_2}{det mathbf{A}} = frac{-2}{-3} = frac{2}{3}

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

Důkaz

frac{det mathbf{A}_i}{det mathbf{A}}=frac{ egin{vmatrix} a_{1,1} & cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & cdots & a_{1,n} \ vdots & ddots & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{j-1,1} & cdots & a_{j-1,i-1} & b_{j-1} & a_{j-1,i+1} & cdots & a_{j-1,n} \ a_{j,1} & cdots & a_{j,i-1} & b_j & a_{j,i+1} & cdots & a_{j,n} \ a_{j+1,1} & cdots & a_{j+1,i-1} & b_{j+1} & a_{j+1,i+1} & cdots & a_{j+1,n} \ vdots & ddots & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n,1} & cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & cdots & a_{n,n} \ end{vmatrix}}{det mathbf{A}}=sum_{j=1}^n b_jfrac{ egin{vmatrix} a_{1,1} & cdots & a_{1,i-1} & 0 & a_{1,i+1} & cdots & a_{1,n} \ vdots & ddots & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{j-1,1} & cdots & a_{j-1,i-1} & 0 & a_{j-1,i+1} & cdots & a_{j-1,n} \ a_{j,1} & cdots & a_{j,i-1} & 1 & a_{j,i+1} & cdots & a_{j,n} \ a_{j+1,1} & cdots & a_{j+1,i-1} & 0 & a_{j+1,i+1} & cdots & a_{j+1,n} \ vdots & ddots & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n,1} & cdots & a_{n,i-1} & 0 & a_{n,i+1} & cdots & a_{n,n} \ end{vmatrix}}{det mathbf{A}}

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice mathbf{A} označíme mathbf{A}_{ji}, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

frac{det mathbf{A}_i}{det mathbf{A}}=sum_{j=1}^n b_jfrac{(-1)^{i+j}detmathbf{A}_{ji}}{det mathbf{A}}

Zlomek ve výrazu je prvkem (mathbf{A}^{-1})_{i,j} inverzní matice mathbf{A}^{-1}.

frac{det mathbf{A}_i}{det mathbf{A}}=sum_{j=1}^n (mathbf{A}^{-1})_{i,j}b_j=(mathbf{A}^{-1}mathbf{b})_i

Protože mathbf{Ax}=mathbf{b} a det mathbf{A} e0, je mathbf{x}=mathbf{A}^{-1}mathbf{b} a tedy

x_i=frac{det mathbf{A}_i}{det mathbf{A}}


Související články

Vytisknout referátPřidat referát do záložek

Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?


Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!