Celé číslo
Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23179 referátů a seminárek)
Informace o referátu:
- Přidal/a: anonymous
- Datum přidání: 17. srpna 2008
- Zobrazeno: 2150×
- Licence: GNU Free Documentation License
- Seznam autorů a změn
- Vyloučení odpovědnosti
Příbuzná témata
Celé číslo
Celá čísla se skládají z přirozených čísel (1, 2, 3, …), nuly a záporných čísel (-1, -2, -3, …). Množina celých čísel se v matematice většinou označuje Z, nebo 
, podle Zahlen (německy čísla). Podobně jako přirozená čísla, tvoří celá čísla nekonečnou spočetnou množinu. Studiem celých čísel se zabývá teorie čísel.
Algebraické vlastnosti
Množina celých čísel Z je uzavřená na operaci sčítání a násobení, to znamená, že součet i součin dvou celých čísel je opět celé číslo. Navíc oproti přirozeným číslům je uzavřená i pro odčítání. Není však uzavřena pro dělení, neboť podíl dvou celých čísel už nemusí být celé číslo (např. 1/2).
Následující tabulka ukazuje zakladní vlastnosti násobení a sčítaní pro jakákoliv celá čísla a, b, c.
| sčítání | násobení | |
| uzavřenost: | a + b je celé číslo | a × b je celé číslo |
| asociativita: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × (b × c) = (a × b) × c |
| komutativita: | a + b = b + a | a × b = b × a |
| existence neutrálního prvku: | a + 0 = a | a × 1 = a |
| existence inverzního prvku: | a + (-a) = 0 | |
| distributivita: | a × (b + c) = (a × b) + (a × c) | |
| Bez dělitelů nuly: | jestliže ab = 0, pak buď a = 0 nebo b = 0 | |
V algebře tvoří Z s prvními pěti vlastnostmi uvedenými výše na operaci sčítání Abelovskou grupu. Grupa Z s operací sčítaní je cyklická, protože každý nenulový prvek může být vyjádřen konečným součtem (např 1 + 1 + … + 1 nebo (-1) + (-1) + … + (-1)). Říkáme tedy, že grupa Z s operací sčítání je nekonečná cyklická grupa a tedy každá nekonečná cyklická grupa je isomorfní Z.
První čtyři vlastnosti uvedené výše s operací násobení říkají, že Z s toutu operací je komutativní monoid. Ale ne každý prvek ze Z ma inverzní prvek (ve smyslu násobení), prostě neexistuje takové celé číslo x, které by vyhovovalo rovnici 2x = 1. To znamená, že Z netvoří spolu s operací násobení grupu.
Všechny vlastnosti z tabulky, kromě poslední, dohormady s operacemi sčítání a násobení na Z tvoří komutativní okruh s jednotkou. Přidáním poslední vlastnosti získame obor integrity nad Z.
Neexistence inverzních prvků vzhledem k násobení, neboli že Z není uzavřena na dělení, znamená, že Z není těleso. Nejmenším tělesem obsahujícím celá čísla je tedy těleso racionálních čísel. Podobně se dá definovat i podílové těleso jakéhokoliv oboru integrity.
Přestože bežné děleni není na Z definováno, neznamená to, že nemůžeme používat algoritmus dělení, ten říka: mějme dvě celá čísla a a b, kde b ? 0, pak existují právě dvě celá čísla q a r taková, že a = q × b + r a 0 <= r < |b|, kde |b| značí absolutní hodnotu b. Celé číslo q se nazývá kvocient a r se nazývá zbytek po dělení čísla a číslem b. To tvoří základ pro Euklidův algoritmus k výpočtu největšího společného dělitele.
insert in to creature templates WHERE id is 3.2.5,4.5,
Konstrukce
Celá čísla mohou být zkonstruována z přirozených čísel definováním tříd ekvivalence dvojic čísel N×N s relací ekvivalence, „~“, kde
právě tehdy, když
Kdybychom brali 0 jako přirozené číslo, pak přirozená čísla můžeme považovat za čísla celá vnořením, které přirozenému číslu n přiřadí [(n,0)], kde [(a,b)] značí třídu ekvivalence, která obsahuje (a,b).
Sčítání a násobení celých čísel je definováno následovně:
![[(a,b)]+[(c,d)] := [(a+c,b+d)].,](http://upload.wikimedia.org/math/b/f/3/bf337cc180aaafed2c987a227b799e47.png)
![[(a,b)]cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].,](http://upload.wikimedia.org/math/2/8/8/28866cf8c27afb7c817dc2d64fcbbd58.png)
Dá se lehce ověřit, že výsledek je nezávislý na volbě reprezentantů třídy ekvivalence.
Typicky, [(a,b)] je označení pro
kde
Jestliže přirozená čísla přiřadíme k odpovídajícím celým číslům (použitím výše uvedeného vnoření), pak toto přiřazení je jednoznačné.
Příklady:
![egin{align}
0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= cdots & &= [(k,k)] \
1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= cdots & &= [(k+1,k)] \
-1 &= [(0,1)] &= [(1,2)] &= cdots & &= [(k,k+1)] \
2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= cdots & &= [(k+2,k)] \
-2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= cdots & &= [(k,k+2)]
end{align}](http://upload.wikimedia.org/math/7/7/2/772a4e9ba107a95900b90c56be31edeb.png)
Tento článek je zčásti nebo zcela založen na překladu článku Integer na anglické Wikipedii.