Cantor-Bernsteinova věta
Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23181 referátů a seminárek)
Informace o referátu:
- Přidal/a: anonymous
- Datum přidání: 17. srpna 2008
- Zobrazeno: 2154×
- Licence: GNU Free Documentation License
- Seznam autorů a změn
- Vyloučení odpovědnosti
Příbuzná témata
Cantor-Bernsteinova věta
Cantor-Bernsteinova věta (také Cantor-Schröder-Bernsteinova věta) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které má zásadní význam pro srovnávání nekonečných mohutností.
Znění
Nejpřirozenější formulací Cantor-Bernsteinovy věty je následující:
Má-li množina A mohutnost menší nebo rovnu než množina B a množina B má mohutnost menší nebo rovnu než množina A, pak množiny A,B mají stejnou mohutnost.
Zapracujeme-li do této formulace i definici pojmu mohutnosti, dostaneme zápis o trochu méně srozumitelný, z nějž je však lépe vidět podstata problému:
Existují-li prosté zobrazení množiny A do množiny B, a prosté zobrazení množiny B do množiny A, pak existuje bijekce mezi těmito dvěma množinami.
Důkaz
Nechť 
a 
jsou prostá zobrazení. Definujeme zobrazení 
, kde P(A) je potenční množina A (množina všech podmnožin A), takto pro ![U subseteq A : h(U)=g[B-f[A-U]]](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/9/529d3b27c601379c88d09a5fbe849d63.png)
(viz obrázek). Snadno je vidět, že h je monotónní (pro 
je 
). Dále se dokáže, že každé monotónní zobrazení mezi P(A) a P(A) má pevný bod (množinu U takovou, že 
). K tomu stačí zvolit 
. Nakonec, je-li 
pevný bod h, položíme 
. Snadno se ověří, že 
je bijekce.
Historie
Prvním, kdo formuloval tvrzení Cantor-Bernsteinovy věty, byl roku 1882 Georg Cantor. Ještě téhož roku se však Cantor svěřil Dedekindovi, že toto tvrzení nedovede dokázat. Cantor pravdivost tohoto tvrzení mnohokrát ohlásil, dokázáno však bylo až v letech 1896 resp. 1897 Friedrichem W. Schröderem a Felixem Bernsteinem.