Rychlá navigace: obsah, klávesové zkratky, navigace, vyhledávání.

Vložit nový referát | Diskusní fórum

Besselova funkce

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23181 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Přidal/a: anonymous
Datum přidání: 12. srpna 2008
Zobrazeno: 3639×
Licence: GNU Free Documentation License
Seznam autorů a změn
Vyloučení odpovědnosti

Příbuzná témata

Vytisknout referát Přidat referát do záložek

Besselova funkce

Besselovou funkcí je označováno řešení Besselovy rovnice

$z^2 frac{mathrm{d}^2 w(z)}{mathrm{d}z^2} + z frac{mathrm{d}w(z)}{mathrm{d}z} + (z^2 - u^2)w(z) = 0$

pro libovolné reálné číslo $?$ , které je označováno jako řád Besselovy funkce.

Obsah

1 Cylindrické funkce
2 Sférické cylindrické funkce
3 Modifikovaná Besselova funkce
- 3.1 Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu
- 3.2 Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu
4 Související články
5 Literatura

Cylindrické funkce

Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice

Besselova funkce

Není-li $?$ celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako

w (z) = c 1 J ? (z) + c 2 J - ? (z)

,

kde $J ? (z)$ a $J - ? (z)$ jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a $c 1, c 2$ jsou libovolné konstanty.

Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.

Besselova funkce řádu $?$ je definována vztahem

$J_ u(z) = {left(frac{z}{2} ight)}^ u sum_{k=0}^infty frac{{(-1)}^k}{{k!}Gamma( u+k+1)}{left(frac{z}{2} ight)}^{2k}$ ,

kde $?(x)$ je gama funkce.

Je-li $? = n$ celé číslo, pak platí

J - n (z) = ( - 1) n J n (z)

Pro $n = 0,1,2,...$ lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

$J_n(z) = frac{1}{pi} int_0^pi cos(z sin heta - n heta)mathrm{d} heta$

Platí následující rekurentní vztahy

2? J ? (z) = z J ? - 1 (z) + z J ? + 1 (z)

$2 J_ u^prime(z) = J_{ u-1}(z) - J_{ u+1}(z)$

$z J_ u^prime(z) = u J_ u(z) - z J_{ u+1}(z)$

$z J_ u^prime(z) = - u J_ u(z) + zJ_{ u-1}(z)$

Neumannova funkce

Je-li $? = n$ celé číslo, pak $J n (z)$ a $J - n (z)$ nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar

w (z) = c 1 J n (z) + c 2 N n (z)

,

kde $N n (z)$ je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná $? = n$ definovány vztahem

$N_n(z) = lim_{ u o n} frac{J_ u(z)cos upi - J_{- u}(z)}{sin upi}$

Pro $?$ různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

$N_ u(z) = frac{J_ u(z)cos upi - J_{- u}(z)}{sin upi}$

Je-li $? = n$ celé číslo, pak platí

N - n (z) = ( - 1) n N n (z)

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

$J_ u(z) N_{ u+1}(z) - J_{ u+1}(z) N_ u(z) = -frac{2}{pi z}$

Platí následující rekurentní vztahy

2? N ? (z) = z N ? - 1 (z) + z N ? + 1 (z)

$2 N_ u^prime(z) = N_{ u-1}(z) - N_{ u+1}(z)$

$z N_ u^prime(z) = u N_ u(z) - z N_{ u+1}(z)$

$z N_ u^prime(z) = - u N_ u(z) + zN_{ u-1}(z)$

Hankelova funkce

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce $H_ u^{(1)}(z)$ a $H_ u^{(2)}(z)$ , které jsou definovány jako

$H_ u^{(1)}(z) = J_ u(z) + mathrm{i}N_ u(z)$

$H_ u^{(2)}(z) = J_ u(z) - mathrm{i}N_ u(z)$

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.

Sférické cylindrické funkce

Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice

$z^2 frac{mathrm{d}^2 w(z)}{mathrm{d}z^2} + 2z frac{mathrm{d}w(z)}{mathrm{d}z} + left[z^2 - l(l+1) ight]w(z)=0$

pro celá nezáporná $l$ .

Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci

$j_l(z) = sqrt{frac{pi}{2z}} J_{l+frac{1}{2}}(z)$

a sférickou Neumannovu funkci

$n_l(z) = sqrt{frac{pi}{2z}} N_{l+frac{1}{2}}(z) = {(-1)}^{l+1}sqrt{frac{pi}{2z}} J_{-l-frac{1}{2}}(z)$ ,

kde $J n$ jsou Besselovy funkce a $N n$ jsou Neumannovy funkce.

Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah

j l (z) n l + 1 (z) - j l + 1 (z) n l (z) = - z - 2

Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce

$h_l^{(1)}(z) = j_l(z) + mathrm{i}n_l(z)$

$h_l^{(2)}(z) = j_l(z) - mathrm{i}n_l(z)$

Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy

$j_l(z) = {(-z)}^l {left(frac{mathrm{d}}{zmathrm{d}z} ight)}^l frac{sin z}{z}$

$n_l(z) = -{(-z)}^l {left(frac{mathrm{d}}{zmathrm{d}z} ight)}^l frac{cos z}{z}$

$h_l^{(1)}(z) = -mathrm{i}{(-z)}^l {left(frac{mathrm{d}}{zmathrm{d}z} ight)}^l frac{mathrm{e}^{mathrm{i}z}}{z}$

Lze ukázat, že platí

j l ( - z) = ( - 1) l j l (z)

n l ( - z) = ( - 1) l + 1 n l (z)

$h_l^{(1)}(-z) = {(-1)}^l h_l^{(2)}(z)$

$h_l^{(2)}(-z) = {(-1)}^l h_l^{(1)}(z)$

Modifikovaná Besselova funkce

Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice

$z^2 frac{mathrm{d}^2 w(z)}{mathrm{d}z^2} + z frac{mathrm{d}w(z)}{mathrm{d}z} - (z^2 + u^2)w(z) = 0$

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu

Není-li $?$ celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar

w (z) = c 1 I ? (z) + c 2 I - ? (z)

,

kde $I ? (z)$ je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

$I_ u(z) = {left(frac{z}{2} ight)}^ u sum_{k=0}^infty frac{1}{{k!}Gamma( u+k+1)}{left(frac{z}{2} ight)}^{2k}$

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

I ? (z) = i - ? J ? (i z)

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu

Pro celá $? = n$ platí

I - n (z) = I n (z)

Pro celá $n$ tedy nejsou $I n (z)$ a $I - n (z)$ lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru

w (z) = c 1 I n (z) + c 2 K n (z)

,

kde $K n (z)$ je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé $?$ je definováno

$K_ u(z) = frac{pi}{2} frac{I_{- u}(z) - I_ u(z)}{sin upi}$

Pro celá $? = n$ pak platí

$K_n(z) = lim_{ u o n} frac{pi}{2} frac{I_{- u}(z) - I_ u(z)}{sin upi}$

Související články

Diferenciální rovnice

Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Vytisknout referát Přidat referát do záložek

Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Překlady levně a kvalitně
Účetnictví
Společenské hry - společenské deskové hry
Tvorba www stránek - Webové stránky, SEO
Puzzle-prodej.cz - puzzle na prodej Ravensburger
Puzzle
Seminární práce
SMS zdarma
Na-mobil.cz
Dějepis.info
Referáty-seminárky.sk

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!

TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!