Analytická funkce
Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23179 referátů a seminárek)
Informace o referátu:
- Přidal/a: anonymous
- Datum přidání: 11. srpna 2008
- Zobrazeno: 2196×
- Licence: GNU Free Documentation License
- Seznam autorů a změn
- Vyloučení odpovědnosti
Příbuzná témata
Analytická funkce
Analytická funkce je funkce, kterou lze v každém bodě 
vyjádřit jako konvergentní mocninnou řadu, tzn.
,
kde x0 je libovolný bod 
. Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna x z okolí bodu x0. Analytické funkce mohou být reálné pro reálná x, ale také komplexní pro komplexní x.
Důsledkem v komplexní analýze je skutečnost, že holomorfní funkce jsou analytické.
Příklad
Příkladem analytické funkce je logaritmická funkce komplexní proměnné z. Tzv. hlavní větev logaritmu z je definována vztahem
pro r > 0 a 
, kde 
. Tato funkce je holomorfní funkce v celé komplexní rovině s výjimkou bodu z = 0 a bodů na záporné reálné ose, kde je nespojitá (její imaginární část má v těchto bodech skok - 2?).
K odstranění nespojitosti na záporné reálné ose zavedeme tzv. druhou větev logaritmické funkce
Tímto vztahem je definováno tzv. analytické prodloužení (pokračování) funkce ln0z přes zápornou reálnou osu.
Podobně definujeme další větve logaritmické funkce
pro celá n.
Množina všech větví tvoří mnohoznačnou funkci lnz.
Každá z uvedených větví je jednoznačná v Gaussově rovině. Přiřadíme-li každé větvi Gaussovu rovinu, dostaneme nekonečnou množinu Gaussových rovin ...,R - 2,R - 1,R0,R1,R2,..., přičemž daná rovina Rn odpovídá větvi lnnz. Pokud všechny Rn 'rozstřihneme' podél záporné reálné osy a vzájemně pospojujeme tak, že k levé horní polorovině R0 'přilepíme' podél reálné osy levou dolní polorovinu R1, podobně R1 k R2 atd., dostaneme nekonečně mnoholistou Riemannovu plochu funkce lnz.
Při obcházení bodu z = 0 přecházíme vždy z větve n do větve n + 1, tzn. nikdy nedojde k návratu k původní hodnotě (imaginární část funkce lnz stále roste). Singulární bod z = 0 je tedy transcendentním bodem funkce lnz.
Jiným příkladem mnohoznačné funkce je obecná mocnina z, tzn.
![z^n = mathrm{e}^{n ln z} = mathrm{e}^{n [ln r + mathrm{i} (varphi + 2 k pi)]}](http://upload.wikimedia.org/math/1/d/4/1d4eb6cf073cb736360dc2042baecfac.png)
kde k je celé číslo.
Pro reálná a iracionální n je tato mocnina nekonečně mnohoznačnou funkcí, bod z = 0 je transcendentním větvícím bodem a Riemannova plocha je nekonečně mnoholistá. Pro racionální n se však po konečném počtu oběhů kolem z = 0 vrátíme k původní hodnotě. Tato funkce má pak pouze konečný počet (různých) větví, bod z = 0 je algebraickým bodem rozvětvení a Riemannova plocha má konečný počet listů.