Afinní konexe

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23179 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata

Vytisknout referátPřidat referát do záložek

Afinní konexe

Afinní konexe označuje v matematice a fyzice objekt, který umožňuje provádět transformace křivočarých souřadnic.

Obsah

Definice

Afinní konexi lze v Riemannově prostoru vyjádřit pomocí metrického tenzoru jako

Gamma_{iotakappalambda} = frac{1}{2}left(frac{part g_{iotakappa}}{part x^lambda} - frac{part g_{kappalambda}}{part x^iota} + frac{part g_{lambdaiota}}{part x^kappa} ight) = frac{1}{2}left(g_{iotakappa,lambda} - g_{kappalambda,iota} + g_{lambdaiota,kappa} ight),

kde čárkou je označena parciální derivace podle dané souřadnice.


Vyjdeme-li z požadavku, aby při se paralelním přenosu v Riemannově prostoru po křivce x = x(u) zachovávala norma vektoru T, pak lze psát

frac{mathrm{d}left(g_{iotakappa}T_{|}^iota T_{|}^kappa ight)}{mathrm{d}u} = frac{mathrm{d}g_{iotakappa}}{mathrm{d}u}T_{|}^iota T_{|}^kappa + 2g_{iotakappa} T_{|}^iota frac{mathrm{d}T_{|}^kappa}{mathrm{d}u} = left(g_{iotakappa,lambda} - 2g_{iotamu}Gamma_{{}kappalambda}^mu ight) T_{|}^{(iota}T_{|}^{kappa)} frac{mathrm{d}x^lambda}{mathrm{d}u} = 0

kde bylo využito symetrie metrického tenzoru, T_{|} označuje paralelně přenesený vektor T a čárkou je označována parciální derivace. V určitém bodě x musí tato rovnice platit pro libovolný vektor T? a pro libovolnou volbu směru. Musí tedy platit

g??,? - ???? - ???? = 0

kde Gamma_{iotakappalambda} = g_{iotamu}Gamma_{{}kappalambda}^mu. Vzhledem k symetrii metrického tenzoru lze přechozí vztah zapsat v ekvivalentním tvaru

g??,? = 2?(??)?


Permutací indexů (a vhodnou změnou znaménka) můžeme zapsat soustavu rovnic

g??,? - ???? - ???? = 0
- g??,? + ???? + ???? = 0
g??,? - ???? - ???? = 0

Sečtením těchto rovnic získáme uvedený definiční vztah.


Afinní konexe bývá také zapisována jako

Gamma_{iotakappalambda} = frac{1}{2}left(g_{iotakappa,lambda} - g_{kappalambda,iota} + g_{lambdaiota,kappa} + c_{iotakappalambda} - c_{kappalambdaiota} + c_{lambdaiotakappa} ight),

kde c??? jsou tzv. strukturní koeficienty.


Christoffelovy symboly

Veličiny ???? bývají také zapisovány jako [?,??] a označovány jako Christoffelovy symboly prvého druhu. Podobně bývají veličiny Gamma_{{}kappalambda}^iota zapisovány jako left{{}_{kappa{}lambda}^{{}iota} ight} a označovány jako Christoffelovy symboly druhého druhu.

Vlastnosti

Integrabilita afinní konexe

Integrabilita afinní konexe.
Integrabilita afinní konexe.

Uvažujme dva body x1,x2 Riemannova prostoru, které jsou spojeny křivkami k, k^prime. Při paralelním přenosu podél křivek k a k^prime vektoru T, který má v x1 hodnotu T1, dostaneme v bodě x2 dvě různé hodnoty T2 (podél křivky k) a T_2^prime (podél křivky k^prime).


Pokud mezi libovolnými dvěma body prostoru (nebo jeho části) platí Delta T=T_2^prime-T_2 = 0 pro libovolné pole T, pak říkáme, že přenos směru je integrabilní, popř. přenos afinní konexe je integrabilní.

Je-li afinní konexe integrabilní, pak v případě, že vektorové pole protneme libovolnou křivkou x = x(u), budou vektory T(x(u)) podél této křivky rovnoběžné. To vede k tomu, že absolutní derivace tohoto pole je podél dané křivky nulová, tzn.

frac{mathrm{D}T^iota}{mathrm{d}u} = {left[T_{,;kappa}^iota ight]}_{x(u)} frac{mathrm{d}x^kappa}{mathrm{d}u} = 0

Poněvadž křivku v předchozím vztahu lze vést libovolným směrem frac{mathrm{d}x^kappa}{mathrm{d}u}, musí platit

T_{,;kappa}^iota = 0,

kde středník označuje kovariantní derivaci. Kovariantní derivací předchozího vztahu dostaneme T_{,;[kappalambda]}^iota = -2R_{,sigmakappalambda}^iota T^sigma. Vzhledem k libovolnosti pole T musí v případě integrabilní afinní konexe platit v celé vyšetřované oblasti pro tenzor křivosti vztah

R_{,kappalambdamu}^iota = 0.

Je-li tedy afinní konexe integrabilní, je prostor plochý.

Související články


Vytisknout referátPřidat referát do záložek

Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?


Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!