Vektor

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23164 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata



Vektor

Tento článek pojednává o matematickému pojmu. Další významy jsou uvedeny v článku Vektor (rozcestník).

Vektor představuje ve fyzice a vektorovém počtu veličinu, která má kromě velikosti i směr (ten může být v 3-rozměrném prostoru charakterizován např. Eulerovými úhly). Tím se liší od obyčejného čísla, neboli skaláru, které má pouze velikost.

Příkladem vektoru je síla — má velikost a směr, a více sil se skládá dohromady podle zákona o skládání sil - rovnoběžníkového pravidla. Vektory se ve fyzice obvykle popisují pomocí souřadnic, které ovšem závisí na volbě souřadnicových os.

V matematice je někdy definován vektor jako uspořádaná n-tice prvků (typicky čísel), označovaných jako složky (též komponenty) vektoru. Obecněji se vektor dá chápat jako abstraktní prvek vektorového prostoru. Prvek vektorového prostorů se dá v různých souřadnicích vyjádřit různými n-ticemi, které se však považují za ten samý vektor.

Počet složek vektoru souvisí s dimenzí vektorového prostoru.

Obsah

Definice

Neformálně je vektor veličina charakterizovaná velikostí (v matematice číslem, ve fyzice počtem jednotek) a směrem. Často je reprezentovaná graficky jako šipka. Příkladem je „Pohyb na sever rychlostí 90 km/hod“ nebo „Přitahován ke středu Země silou 70 newtonů“.

Ve fyzice se vektory obvykle zapisují v souřadnicích. Aby byl vektor dobře definován, požaduje se následující vlastnost: jestliže si zvolím novou souřadnicovou soustavu a měřím body v prostoru v novém souřadném systému, pak souřadnice vektoru se změní podle stejného vzorce jak souřadnice bodů v prostorů. Tato vlastnost se nazývá invariance vůči změně souřadnic. Tedy jestliže systém souřadnic podstoupí lineární transformaci popsanou vztahem x_i^prime = sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, pak složky libovolného vektoru mathbf{v} se podobně transformují podle vztahu

v_i^prime = sum_{j=1}^n a_{ij} v_j,

kde vi jsou složky vektoru mathbf{v} v původní soustavě souřadnic a v_i^prime jsou složky vektoru mathbf{v} v nové soustavě souřadnic. Tuto transformaci lze vyjádřit v maticovém zápisu jako mathbf{v}^prime = mathbf{A}cdotmathbf{v}, kde mathbf{A} je transformační matice se složkami aij. Někdy se požaduje invariance ne vůči všem lineárním transformacím, ale jen rotacím a zrcadlením (v klasické mechanice), nebo Lorentzovým transformacím (v speciální relativitě).

Pokud není vektor vázán k žádnému pevnému bodu prostoru, tzn. pro jeho vyjádření je důležitý pouze jeho směr a velikost, pak hovoříme o volném vektoru. Pokud je daný vektor spojen s určitým bodem prostoru (t.j. má počátek), pak hovoříme o vázaném vektoru.

Pokud je vektor definován v každém bodě prostoru, pak se hovoří o vektorovém poli.

V matematice se pod pojmem vektor obvykle rozumí prvek nějakého vektorového prostorů. Tyto prostory můžou být i nekonečněrozměrné, proto někdy má smysl mluvit, že i funkce je vektor, anebo stav fyzikálního systému je vektor (v kvantové mechanice).

Pravý a axiální vektor

Jako pravý vektor označujeme takovou vektorovou veličinu, která se dá nějakým způsobem měřit nebo počítat za předpokladu pevně zvolené ortonormální souřadnicové soustavy a když se podle stejných pravidel změří nebo spočte v souřadnicové soustavě, která je vůči původní otočená nebo zrcadlená, vyjde nám „stejný“ vektor (t.j. jeho souřadnice se vůči původním změnily podle stejného vzorce než souřadnice bodů v prostoru). Při zrcadlení os tedy pro pravý vektor platí

mathbf{V}(-x_i) = mathbf{V}(x_i),

kde ( - xi) označuje souřadnicovou soustavu, která má opačnou orientaci jako (x_i).

Vektorovou veličinu, která se při rotacích transformuje stejně jako souřadnice, avšak při zrcadlení souřadnicových soustav mění znaménko, označujeme jako axiální vektor (nepravý vektor nebo pseudovektor). Při zrcadlení os tedy pro axiální vektor platí

mathbf{V}(-x_i) = -mathbf{V}(x_i).

Matematicky se dá axiální vektor definovat jako prvek druhé vnější mocniny prostoru (v dimenzi 3), resp. obecněji jako prvek (n-1)-ní vnější mocniny wedge^{n-1} mathbf{V} n-rozměrného vektorového prostoru V. Za předpokladu volby skalárního součinu a orientace na V pak můžeme takový prvek ztotožnit s vektorem (prvkem V) pomocí Hodgeovy duality. Znaménko výsledného vektoru pak závisí na volbě orientace.

Příkladem pravého vektoru je polohový vektor mathbf{r} nebo vektor rychlosti mathbf{v}, axiálním vektorem je např. vektor úhlové rychlosti mathbf{Omega}. Pseudovektory se často konstruují z pravých vektorů pomocí vektorového součinu (je invariantní vůči rotacím, ale ne zrcadlením).


Reprezentace vektoru

Symboly pro vektory jsou obvykle tištěny tučně, jako a; to je také konvence použitá v této encyklopedii. Mezi další zvyklosti označování patří vec{a} nebo a, zvlášť při ručním psaní. Alternativně lze použít tildu (~) umístěnou nad vektor.

Vektory se obvykle v grafech nebo jiných diagramech označují jako šipky, jak je znázorněno na obrázku :

Grafická reprezentace vektoru.

Zde bod A se nazývá báze nebo počátek; bod B se nazývá hlava, vrchol, koncový bod, nebo cíl. Délka šipky představuje velikost vektoru, směr šipky představuje směr vektoru.

Vektory jsou také často vyjadřovány pomocí svých složek, např. ai pro vektor mathbf{a}.

V pokročilejší matematické či fyzikální literatuře se pro vektory žádné speciální značení nepoužívá a jsou označovány stejně jako ostatní veličiny, popř. se používá složkový zápis. Např. místo mathbf{a} se použije ai nebo pouze a.

Kvantová fyzika používá pro zápis vektoru tzv. Diracovu symboliku.

V diferenciální geometrii se vektor v dané souřadné soustavě často vyjadřuje pomocí operátorů parciálních derivací, tedy např. jako

mathbf{A} = a_x frac{oldsymbol{partial}}{oldsymbol{partial} x} + 
a_y frac{oldsymbol{partial}}{oldsymbol{partial} y}+
a_z frac{oldsymbol{partial}}{oldsymbol{partial} z};.

S výhodou se využívá faktu, že při obecných transformacích souřadnic se vektory transformují stejně jako parciální derivace - pomocí řetízkového pravidla.

Operace s vektory

Sčítání vektorů

Pro dva vektory mathbf{A}, mathbf{B} ze stejného vektorového prostoru je definován jejich součet mathbf{C} = mathbf{A} + mathbf{B}. Pro složky vektorů platí Ci = Ai + Bi

Pokud jsou dva vektory na sebe kolmé, lze velikost výsledného vektoru určit Pythagorovou větou. Výsledný vektor je možno reprezentovat graficky a to doplněním do vektorového rovnoběžníku (nechť je cíl výsledného vektoru bod C, počátek bod A, cíl vektoru 1 bod B a cíl vektoru 2 bod D. Úhlopříčka AC vektorového rovnoběžníku ABCD pak představuje výsledný vektor. Délka této vektorové úsečky je rovna velikosti výsledného vektoru.)

Násobení vektoru číslem

Pro libovolný vektor mathbf{A} a číslo k je definován vektor kmathbf{A} se složkami

k cdot A_i.

Součin vektorů

Součin vektorů lze definovat různým způsobem. Používané součiny vektorů jsou

Vlastnosti vektorových operací

Mějme vektory mathbf{A}, mathbf{B}, mathbf{C} a skaláry a,b. Pak platí komutativní zákon pro sčítání vektorů

mathbf{A} + mathbf{B} = mathbf{B} + mathbf{A}

Pro sčítání dvou vektorů platí asociativní zákon, tzn.

mathbf{A} + (mathbf{B} + mathbf{C}) = (mathbf{A} + mathbf{B}) + mathbf{C}

Platí také asociativní zákon pro násobení číslem, tedy

a(b mathbf{A}) = (ab) mathbf{A}

Dále platí distributivní zákony

(a+b) mathbf{A} = a mathbf{A} + b mathbf{A}
a(mathbf{A} + mathbf{B}) = a mathbf{A} + a mathbf{B}

Existuje nulový vektor mathbf{0} splňující následující vztahy

mathbf{A} + mathbf{0} = mathbf{A}
mathbf{0}cdotmathbf{A} = mathbf{0}
a mathbf{0} = mathbf{0}

Ke každému vektoru mathbf{A} existuje opačný vektor -mathbf{A}, pro nějž platí

mathbf{A} + (-mathbf{A}) = mathbf{0}
-(a mathbf{A}) = (-a) mathbf{A} = a (-mathbf{A})

Pokud mathbf{B} = mathbf{A} + mathbf{C}, pak

mathbf{C} = mathbf{B} + (-mathbf{A}) = mathbf{B} - mathbf{A}

Za lineární kombinaci dvou vektorů mathbf{A}, mathbf{B} je považován vektor mathbf{C} = a mathbf{A} + b mathbf{B}, kde a, b jsou libovolná čísla, jehož složky jsou

Ci = aAi + bBi


Dva lineárně závislé vektory označujeme jako kolineární (rovnoběžné). Jsou-li dva vektory lineárně závislé, je jeden z nich násobkem druhého, oba tedy určují stejný směr v prostoru a jsou tedy rovnoběžné. Vektorový součin dvou kolineárních vektorů v mathbb{R}^3 je nulový.

Tři vzájemně lineárně závislé vektory označujeme jako komplanární. Komplanární vektory leží v jedné rovině. Smíšený součin komplanárních vektorů v mathbb{R}^3je nulový.

Pro součiny vektorů v mathbb{R}^3 platí důležité vztahy, jako je např. jacobiho identita pro dvojitý vektorový součin, tzn.

mathbf{A} 	imes (mathbf{B} 	imes mathbf{C}) + mathbf{B} 	imes (mathbf{C} 	imes mathbf{A}) + mathbf{C} 	imes (mathbf{A} 	imes mathbf{B}) = 0

Dále tzv. Lagrangeova identita

(mathbf{A} 	imes mathbf{B})cdot(mathbf{C} 	imes mathbf{D}) = (mathbf{A}cdot mathbf{C})(mathbf{B} cdot mathbf{D}) - (mathbf{A} cdot mathbf{D})(mathbf{B} cdot mathbf{C})

Speciálním případem Lagrangeovy identity je vztah

{(mathbf{A} 	imes mathbf{B})}^2 = {mathbf{A}}^2 {mathbf{B}}^2 - {(mathbf{A} cdot mathbf{B})}^2


Dalšími často užívanými vztahy jsou

(mathbf{A} 	imes mathbf{B}) 	imes (mathbf{C} 	imes mathbf{D}) = [mathbf{A}(mathbf{B} 	imes mathbf{D})]mathbf{C} - [mathbf{A}(mathbf{B}	imes mathbf{C})]mathbf{D}
mathbf{A} 	imes [mathbf{B} 	imes (mathbf{C} 	imes mathbf{D})] = (mathbf{A} 	imes mathbf{C})(mathbf{B} cdot mathbf{D}) - (mathbf{A} 	imes mathbf{D})(mathbf{B} cdot mathbf{C})

Invariance operací

Sčítání vektorů je invariantní vůči všem lineárním zobrazením, t.j. mathbf{A}(mathbf{x}+mathbf{y})=mathbf{A}mathbf{x}+mathbf{A}mathbf{y} pro nějakou lineární transformaci A, přičemž x a y označují vektory.

Vektorový součin dvou vektorů z mathbb{R}^3 je invariantní vůči rotacím (ale ne zrcadlením). To znamená mathbf{A}(mathbf{v}	imes mathbf{w})=mathbf{A}(mathbf{v})	imes mathbf{A}(mathbf{w}) pro libovolnou rotaci A. Znamená to, že vektorový součin je dobře definován i na abstraktním třírozměrném reálném vektorovém prostorů, pokud je na něm definován skalární součin a orientace. Vektorový součin dvou vektorů v prostoru je tedy dobře definován i „fyzikálně“, až na znaménko (je to pseudovektor).

Skalárni součin je invariantní vůči všem rotacím, ale navíc i zrcadlením (a nejen u třirozměrných reálných prostorových vektorů, ale i obecně.)

Smíšený součin tří vektorů z mathbb{R}^3 je invariantní vůči všem lineárním zobrazením, které zachovávají objem a nemění orientaci prostoru (množina takových zobrazení se standardně značí SL(3)). Znamená to opět, že při dané volbě orientace (fyzikálního) třírozměrného prostorů je smíšený součin 3 vektorů dobře definován, obecně jeho znaménko závisí na orientaci prostoru (je to pseudoskalár).

Další vektorové operace

Operace na vektorech:

Druhy vektorů

Jednotkový vektor

Jednotkovým vektorem označujeme vektor e s jednotkovou normou, tzn. |mathbf{e}|=1.

Jednotkový vektor ve směru libovolného vektoru mathbf{V} je určen vztahem

mathbf{e} = frac{mathbf{V}}{|mathbf{V}|}

Nulový vektor

Nulový vektor mathbf{0} je zvláštním případem vektoru, který lze zapsat jako uspořádanou n-tici (0,0,cdots,0), tzn. všechny složky vektoru jsou nulové.

Norma nulového vektoru je rovna nule.

Z hlediska fyzikálního nemá nulový vektor směr ani orientaci.


Tečný vektor

Je vektor vyskytující se na varietách, který má počátek (t.j. pevný bod, z kterého vychází) a určuje rychlost pohybujícího se objektu, který daným bodem prochází. (Formálně se definuje tak, že hladké funkci přiřadí příslušnou směrovou derivaci). Ve fyzice se často pracuje s vektorovými poli na varietách.

Hermiteovsky sdružený vektor

Vektor je obvykle vyjadřován jako sloupec s komponentami

egin{pmatrix}
a_1 \
a_2 \
vdots \
a_nend{pmatrix}

Hermiteovské sdružení představuje aplikaci transpozice a komplexního sdružení, čímž získáme hermiteovsky sdružený vektor se složkami

(a_1^*, a_2^*, cdots, a_n^*)


Související články



Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?



Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!