Spojitá funkce

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23164 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata



Spojitá funkce

Spojitá (červeně) a nespojitá funkce (modře)
Spojitá (červeně) a nespojitá funkce (modře)

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojité funkce jsou v praxi mnohem častější než nespojité, např. v klasické fyzice jsou prakticky všechny používané funkce spojité. Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, integrál apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v bodě x0 definovat následujícími dvěma podmínkami:

  • Funkce je v bodě x0 definována (x0 patří do definičního oboru).
  • V bodě x0 existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:
    lim_{x 	o x_0}f(x) = f(x_0).

Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.

Obsah

Cauchyho definice

O funkci f(x) řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu varepsilon > 0 existuje takové číslo ? > 0, že pro všechna x, pro něž platí | x - a | < ?, platí také

|f(x) - f(a)| < varepsilon

Velikost čísla ? může záviset na volbě čísla varepsilon.

Funkci f(x) označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému varepsilon > 0 existuje takové ? > 0, že pro všechna x > a (resp. x leq a), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu a je |f(x)-f(a)|<varepsilon. Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci f(xi), kde x1,x2,...,xn jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě A = [a1,a2,...,an], pokud ke každému (libovolně malému) číslu varepsilon>0 existuje takové číslo ? > 0, že pro všechny body X = [x1,x2,...,xn] z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku d(A,X) < ?, platí

|f(x_1,x_2,...,x_n) - f(a_1,a_2,..,a_n)|<varepsilon

Heineho definice

Nechť x0 je hromadným bodem D(f). Funkce f je spojitá v bodě x0 právě tehdy když forall lbrace x_n 
brace , x_n in D(f), x_n 
ightarrow x_0 platí f(x_n) 
ightarrow f(x_0)

Spojitost komplexní funkce

O komplexní funkci f(z) říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě z0 komplexní roviny platí

lim_{z 
ightarrow z_0} f(z) = f(z_0)

Je-li funkce f(z) spojitá v každém bodě určité oblasti mathbf{G}, pak říkáme, že je spojitá v mathbf{G}.

Bod nespojitosti

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti.

Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod a, ve kterém má funkce f(x) limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. lim_{x 	o a+} f(x) 
e lim_{x 	o a-} f(x). Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. lim_{x 	o a+} f(x) - lim_{x 	o a-} f(x), nazýváme skokem funkce v bodě a.

Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod a, v němž neexistuje alespoň jedna z (konečných) jednostranných limit.

Pokud v bodě a existuje konečná limita lim_{x 	o a} f(x)=A, avšak funkce f(x) není v bodě a definována, nebo je f(a) 
e A, pak bod a označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce f(x).

Druhy bodů nespojitosti
Druhy bodů nespojitosti

Funkci, která je definována na intervalu langle a,b
angle, označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Na obrázku je bodem nespojitosti prvního druhu bod b. Bod e je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod c je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu langle a,d
angle.

Stejnoměrná spojitost

Mějme funkci f(x) na intervalu langle a,b
angle, pro niž k libovolnému varepsilon>0 existuje ? > 0 takové, že pro libovolné dva body x1,x2 z intervalu langle a,b
angle splňující | x1 - x2 | < ? platí |f(x_1)-f(x_2)|<varepsilon, pak říkáme, že funkce f(x) je stejnoměrně spojitá na intervalu langle a,b
angle.

Weierstrassova věta

Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu langle a,b
angle lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v langle a,b
angle posloupností polynomů, tzn. k libovolnému varepsilon>0 existuje polynom P(x) takový, že |f(x)-P(x)|<varepsilon pro všechna x in langle a,b
angle.

Absolutně spojitá funkce

Funkci f(x) označíme jako absolutně spojitou na intervalu langle a,b
angle, jestliže k libovolnému varepsilon>0 existuje takové ? > 0, že pro každý systém intervalů langle a_1,b_1
angle, langle a_2,b_2
angle, ..., langle a_n,b_n
angle, pro který je a leq a_1 leq b_1 leq a_2 leq b_2 leq cdots leq a_n leq b_n leq b, a sum_{i=1}^n (b_i-a_i) < delta platí sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<varepsilon.


Je-li funkce f(x) absolutně spojitá na intervalu langle a,b
angle, pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.

Příklady

Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle
Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle
  • Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
  • Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla).
  • Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0:
    I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn -0,001 = -1, ale sgn 0,001 = 1.
  • Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle.
  • Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.

Vlastnosti

  • Má-li funkce f(x) v bodě a konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
  • Pokud je funkce f(x) spojitá v bodě a a funkce g(y) spojitá v bodě b = f(a), pak složená funkce g(f(x)) je spojitá v bodě a.
  • Je-li funkce f(x) spojitá na langle a,b
angle, pak na langle a,b
angle existuje alespoň jeden bod x_1 in langle a,b
angle takový, že f(x_1) ge f(x) pro všechna x in langle a,b
angle. Jedná se o maximum funkce f(x) na intervalu langle a,b
angle. Současně také existuje alespoň jeden bod x_2 in langle a,b
angle takový, že f(x_2) leq f(x) pro všechna x inlangle a,b
angle. Jedná se o minimum funkce f(x) na intervalu langle a,b
angle. Funkce spojitá na intervalu langle a,b
angle je tedy na tomto intervalu také ohraničená.

Související články



Wi
hrosik | 21. července 2011
kipedie?
Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?



Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!