Parciální diferenciální rovnice

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23164 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata



Parciální diferenciální rovnice

Jako parciální diferenciální rovnice označujeme diferenciální rovnice, ve kterých se vyskytují parciální derivace funkcí více proměnných. Obecně lze parciální diferenciální rovnici zapsat ve tvaru

Fleft(x_1,x_2,...,x_n,z,frac{part z}{part x_1},...,frac{part z}{part x_n},frac{part^2 z}{part x_1^2},frac{part^2 z}{part x_1 part x_2},...,frac{part^2 z}{part x_1 part x_n},frac{part^2 z}{part x_2^2},...,frac{part^k z}{part x_n^k},...
ight) = 0,

kde z(x1,x2,...,xn) je neznámá funkce n proměnných.

Tímto obecným vztahem lze popsat lineární i nelineární parciální diferenciální rovnice.

Obsah

Parciální diferenciální rovnice prvního řádu

Parciální diferenciální rovnice prvního řádu jsou diferenciální rovnice, v nichž se vyskytují nejvýše parciální derivace prvního řádu. Takovou rovnici psát v obecném tvaru

Fleft(x_1,x_2,...,x_n,z,frac{part z}{part x_1},...,frac{part z}{part x_n}
ight) = 0,

kde z(x1,x2,...,xn) je neznámá funkce n proměnných.

Pokud má parciální diferenciální rovnice prvního řádu jednoduchý tvar, pak ji můžeme řešit jako obyčejnou diferenciální rovnici. Je však třeba vzít v úvahu, že při integraci podle proměnné xi považujeme všechny ostatní proměnné, tzn. x1,x2,...,xi - 1,xi + 1, atd., za konstanty a za integrační konstantu bereme funkci ci(x1,x2,...,xi - 1,xi + 1,...), tzn. při integraci podle xi je integrační konstantou libovolná funkce, která nezávisí na proměnné xi.

Příkladem parciální diferenciální rovnice tohoto typu může být rovnice frac{part z}{part y} = ax+by+c. Integrací této rovnice dostaneme obecné řešení ve tvaru z= axy+frac{b}{2}y^2+cy+c(x), kde c(x) je libovolná funkce závislá na proměnné x.

Lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu

Lineární parciální diferenciální rovnici prvního řádu lze vyjádřit obecným vztahem

a_1(x_1,x_2,...,x_n)frac{part z}{part x_1} + a_2(x_1,x_2,...,x_n)frac{part z}{part x_2} + ... + a_n(x_1,x_2,...,x_n)frac{part z}{part x_n} = b(x_1,x_2,...,x_n)

Tuto rovnici pro b(x_1,x_2,...,x_n)
eq 0 označujeme jako nehomogenní lineární parciální diferenciální rovnici prvního řádu v n proměnných. Pro b(x1,x2,...,xn) = 0 hovoříme homogenní lineární parciální diferenciální rovnici prvního řádu v n proměnných.


Mějme pro jednoduchost homogenní lineární parciální diferenciální rovnici prvého řádu ve dvou nezávisle proměnných, kterou lze zapsat jako

P(x,y)frac{part z}{part x} + Q(x,y)frac{part z}{part y} = 0

Předpokládejme, že existují funkce x = ?1(t),y = ?2(t) proměnné t, které jsou pro tin(alpha,eta) řešením soustavy diferenciálních rovnic

frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t} = P(x,y)
frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}t} = Q(x,y)

Předpokládejme také, že existuje funkce z(x,y), která je řešením dané rovnice, a pro tin(alpha,eta) leží body (x,y) = [?1(t),?2(t)] v definičním oboru funkce z(x,y). V takovém případě platí, že z(?1(t),?2(t)) = konst.

Řešení ?1(t),?2(t) jsou tzv. charakteristiky (prvního řádu). Řešením rovnice P(x,y)frac{part z}{part x} + Q(x,y)frac{part z}{part y} = 0 tedy získáme funkci z, která je konstantní podél charakteristik. Charakteristiky lze také chápat jako určitý druh vrstevnic na ploše z(x,y), která je řešením dané rovnice.

Při řešení dané postupujeme tak, že vytvoříme soustavu uvedenou soustavu rovnic, z níž určíme charakteristiky soustavy. Funkci z(x,y) pak určíme tak, aby byla konstantní podle každé charakteristiky a měla spojité parciální derivace prvního řádu.


Uvedený postup lze zobecnit na homogenní parciální diferenciální rovnici v n proměnných

P_1(x_1,x_2,..,x_n)frac{part V}{part x_1} + P_2(x_1,x_2,...,x_n)frac{part V}{part x_2}+ ... +P_n(x_1,x_2,...,x_n)frac{part V}{part x_n} = 0,

kde předpokládáme platnost podmínky sum_{i=1}^n P_i^2(x_1,x_2,...,x_n)>0. Danou rovnici zapisujeme také ve zkráceném tvaru

sum_{i=1}^n P_i(x_1,x_2,...,x_n)frac{part V(x_1,x_2,...,x_n)}{part x_i} = 0

K určení charakteristik této rovnice sestrojíme soustavu obyčejných diferenciálních rovnic, které zapisujeme ve tvaru

frac{mathrm{d}x_1}{P_1(x_1,x_2,...,x_n)} = frac{mathrm{d}x_2}{P_2(x_1,x_2,...,x_n)} = ... = frac{mathrm{d}x_n}{P_n(x_1,x_2,...,x_n)}


Pokud každým bodem oblasti ?, v níž uvedenou rovnici řešíme, prochází alespoň jedna charakteristika a pokud existuje funkce V(x1,x2,...,xn), která je konstantní podél charakteristik a současně má v ? spojité parciální derivace prvního řádu, potom je V(x1,x2,...,xn) v ? řešením dané rovnice.

Kvazilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu

Tyv. kvazilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu jsou rovnice, které lze zapsat jako

a_1(x_1,x_2,...,x_n,z)frac{part z}{part x_1} + a_2(x_1,x_2,...,x_n,z)frac{part z}{part x_2} + ... + a_n(x_1,x_2,...,x_n,z)frac{part z}{part x_n} = b(x_1,x_2,...,x_n,z)

Mějme nyní kvazilineární parciální diferenciální rovnici prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných x,y, kterou vyjádříme ve tvaru

P(x,y,z)frac{part z(x,y)}{part x} + Q(x,y,z)frac{part z(x,y)}{part y} = R(x,y,z)

Předpokládejme, že funkce z(x,y) je implicitně určena rovnicí V(x,y,z) = 0, přičemž parciální derivace V podle z je nenulová, tzn. frac{part V}{part z}
eq 0. Pro parciální derivace podle x, y platí

frac{part V}{part x} + frac{part V}{part z}frac{part z}{part x} = 0
frac{part V}{part y} + frac{part V}{part z}frac{part z}{part y} = 0

Dosazením těchto vztahů do předchozí rovnice dostaneme

-Pfrac{frac{part V}{part x}}{frac{part V}{part z}}-Qfrac{frac{part V}{part y}}{frac{part V}{part z}}=R

Tuto rovnici přepíšeme do tvaru

Pfrac{part V}{part x} + Qfrac{part V}{part y}+Rfrac{part V}{part z} = 0

Platí přitom, že pokud je z(x,y) řešením původní rovnice, pak V(x,y,z) = 0 je řešením posledně uvedené rovnice.

Obecné řešení kvazilineární rovnice získáme tak, že k ní určíme rovnici Pfrac{part V}{part x} + Qfrac{part V}{part y}+Rfrac{part V}{part z} = 0, ke které určíme ze soustavy rovnic frac{mathrm{d}x}{P} = frac{mathrm{d}y}{Q} = frac{mathrm{d}z}{R} charakteristiky varphi_1(x,y,z) = C_1, varphi_2(x,y,z)=C_2, s jejichž pomocí určíme obecné řešení, neboť V(x,y,z)=F(varphi_1,varphi_2)=0. Řešení může mít také tvar varphi_1=f(varphi_2) nebo varphi_2=f(varphi_1).


Podobně postupujeme také v případě řešení kvazilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu v n proměnných, kdy hledáme nezávislé integrály varphi_i(x_1,x_2,...,x_n)=C_i, které jsou řešením soustavy frac{mathrm{d}x_1}{a_1} = frac{mathrm{d}x_2}{a_2} = ... = frac{mathrm{d}x_n}{a_n} = frac{mathrm{d}z}{b}. Obecný integrál má pak tvar

F(varphi_1(x_1,x_2,...,x_n),varphi_2(x_1,x_2,...,x_n),...,varphi_n(x_1,x_2,...,x_n))=0

Parciání diferenciální rovnice druhého řádu

Parciální diferenciální rovnice druhého řádu jsou parciální diferenciální rovnice, které obsahují parciální derivace nejvýše druhého řádu. V obecném tvaru je lze zapsat jako

Fleft(x_1,x_2,...,x_n,z,frac{part z}{part x_1},frac{part z}{part x_2},...,frac{part z}{part x_n},frac{part^2 z}{part x_1^2},frac{part^2 z}{part x_1 part x_2}, ...,frac{part^2 z}{part x_1 part x_n},frac{part^2 z}{part x_2^2},frac{part^2 z}{part x_2 part x_3},...,frac{part^2 z}{part x_n^2}
ight)

Speciální typy rovnic druhého řádu

Některé parciální diferenciální rovnice druhého řádu, které mají speciální tvar, lze řešit, popř. zjednodušit, pomocí jednoduchých postupů.


Do této skupiny spadají např. parciální diferenciální rovnice, které obsahují parciální derivace pouze podle jedné proměnné. Jde tedy o rovnice typu

Fleft(x_1,x_2,...,x_n,z,frac{part z}{part x_1},frac{part^2 z}{part x_1^2}
ight) = 0

Rovnice, které mají tento tvar, můžeme řešit jako obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu.


Další skupinou parciálních diferenciálních rovnic jsou rovnice, u nichž lze snížit řád derivace. Jde o rovnice typu

Fleft(x_1,x_2,...,x_n,frac{part z}{part x_1},frac{part^2 z}{part x_1^2},frac{part^2 z}{part x_1 part x_2},frac{part^2 z}{part x_1 part x_3},...,frac{part^2 z}{part x_1 part x_n}
ight) = 0

V rovnici tohoto typu použijeme substituci

frac{part z}{part x_1} = y

S pomocí této substituce převedeme rovnici do tvaru

Fleft(x_1,x_2,...,x_n,y,frac{part y}{part x_1},frac{part y}{part x_2},...,frac{part y}{part x_n}
ight) = 0

Tato rovnice je parciální diferenciální rovnice prvního řádu, jejímž obecným řešením je funkce y. Toto řešení dosadíme do frac{part z}{part x_1} = y a integrací získáme obecné řešení původní rovnice.

Metoda separace proměnných

Často používanou metodou je metoda separace proměnných (Fourierova metoda).


Tato metoda je založena na předpokladu, že řešení diferenciální rovnice lze vyjádřit ve tvaru

z(x1,x2,x3,...,xn) = g(x1) + h(x2,x3,...,xn)

popř. ve tvaru

z(x1,x2,x3,...,xn) = g(x1)h(x2,x3,...,xn)

Dosadíme-li některý z uvedených výrazů do parciální diferenciální rovnice druhého řádu, a pokud se podaří oddělit při řešení obě funkce g,h, pak tímto postupem převedeme parciální diferenciální rovnici na soustavu diferenciálních rovnic. Použití některé z uvedených substitucí má tedy za cíl převést parciální diferenciální rovnici druhého řádu do tvaru

Gleft(x_1,g,frac{part g}{part x_1},frac{part^2 g}{part x_1^2}
ight) = Hleft(x_2,x_3,...,x_n,h,frac{part h}{part x_2},frac{part h}{part x_3},...,frac{part h}{part x_n},frac{part^2 h}{part x_2^2},frac{part^2 h}{part x_2 part x_3},...,frac{part^2 h}{part x_2 part x_n},frac{part^2 h}{part x_3^2},frac{part^2 h}{part x_3 part x_4},...,frac{part^2 h}{part x_n^2}
ight)

Vzhledem k tomu, že na levé straně je pouze proměnná x1, zatímco na pravé straně jsou pouze proměnné x2,x3,...,xn, může být tato rovnost splněna pouze tehdy, pokud se obě strany rovnice rovnají téže konstantě. Uvedenou rovnici lze tedy vyjádřit soustavou rovnic

Gleft(x_1,g,frac{part g}{part x_1},frac{part^2 g}{part x_1^2}
ight) = K
Hleft(x_2,x_3,...,x_n,h,frac{part h}{part x_2},frac{part h}{part x_3},...,frac{part h}{part x_n},frac{part^2 h}{part x_2^2},frac{part^2 h}{part x_2 part x_3},...,frac{part^2 h}{part x_2 part x_n},frac{part^2 h}{part x_3^2},frac{part^2 h}{part x_3 part x_4},...,frac{part^2 h}{part x_n^2}
ight) = K

Přestože nelze separaci proměnných použít ve všech případech, je tato metoda účinná i při řešení některých nelineárních parciálních diferenciálních rovnic.

Lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu

Jako lineární parciální diferenciální rovnici druhého řádu pro funkci dvou nezávisle proměnných x,y označujeme diferenciální rovnici, kterou lze zapsat v obecném tvaru

A(x,y)frac{part^2 z(x,y)}{part x^2} + 2B(x,y)frac{part^2 z(x,y)}{part x part y}+C(x,y)frac{part^2 z(x,y)}{part y^2}+D(x,y)frac{part z(x,y)}{part x}+E(x,y)frac{part z(x,y)}{part y}+F(x,y)z(x,y)+G(x,y) = 0,

kde A,B,C,D,E,F,G jsou spojité funkce proměnných x,y na oblasti ?, na které uvedenou rovnici řešíme.

Vytvoříme determinant

delta = egin{vmatrix} A(x,y) & B(x,y) \ B(x,y) & C(x,y) end{vmatrix}

Pokud si pro všechny body oblasti ? determinant ? zachovává své znaménko (v celé oblasti ? má tedy ? stejné znaménko), pak uvedené lineární diferenciální rovnice dělíme následujícím způsobem:

Typ rovnice se při souřadnicových transformacích zachovává.

Kanonický tvar rovnice

Každou rovnici daného typu lze vhodnou transformací souřadnic převést v okolí každého bodu (x_0,y_0)inOmega převést na tzv. kanonický tvar.

Kanonický tvar eliptické rovnice je

frac{part^2 z}{part x^2} + frac{part^2 z}{part y^2} + a_1(x,y)frac{part z}{part x} + b_1(x,y)frac{part z}{part y} + c_1(x,y)z + d_1(x,y) = 0

Kanonický tvar parabolické rovnice lze zapsat jako

frac{part^2 z}{part y^2} + a_2(x,y)frac{part z}{part x} + b_2(x,y)frac{part z}{part y} + c_2(x,y)z+d_2(x,y) = 0

Hyperbolická rovnice má kanonický tvar

frac{part^2 z}{part x^2} - frac{part^2 z}{part y^2} + a_3(x,y)frac{part z}{part x} + b_3(x,y)frac{part z}{part y} + c_3(x,y)z+d_3(x,y) = 0


Rozdělení na eliptické, hyperbolické a parabolické rovnice se užívá také pro funkce více proměnných. Pro funkce více proměnných však v obecném případě nelze najít transformaci v celém okolí daného bodu, ale pouze v daném bodě.

O rovnici hovoříme jako o eliptické v daném bodě, pokud ji lze vhodnou transformací souřadnic v tomto bodě převést na tvar

sum_{k=1}^n frac{part^2 z}{part x_k^2} + cdots = 0

O hyperbolické rovnici v daném bodě hovoříme tehdy, pokud existuje taková transformace souřadnic, kterou lze rovnici v tomto bodě převést na tvar

sum_{k=1}^{n-1}frac{part^2 z}{part x_k^2} - frac{part^2 z}{part x_n^2} + cdots = 0

Parabolickou rovnicí (v daném bodě) pak označujeme takovou rovnici, kterou lze v daném bodě převést vhodnou souřadnicovou transformací na tvar

sum_{k=2}^n frac{part^2 z}{part x_k^2} + a_1 frac{part z}{part x_1}+ cdots = 0

Související články



Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?



Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!