Operátor

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23172 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata



Operátor

Tento článek pojednává o matematickém pojmu. O technické profesi pojednává článek operátor (člověk).

Operátorem hat A nazýváme v matematice takové zobrazení, kterým nějaké funkci f přiřazujeme funkci g, tzn.

hat A f = g,

kde f in mathbf{X}, g in mathbf{Y}. Působením operátoru hat A na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor hat A, zobrazující prostor X do prostoru Y.

Operátor obvykle značíme stříškou, např. hat H, hat p, apod.

Prvek f in mathbf{X} nazýváme vzorem (originálem), prvek g in mathbf{Y} obrazem.

Množina všech g in mathbf{Y}, které přísluší všem f in mathbf{X}, tzn. množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru hat A. Obvykle se značí mathrm{Rng}(hat A). Pokud operátor není definován pro všechna f in mathbf{X}, pak množinu těch f in X pro které definován je nazveme definičním oborem operátoru.

Obsah

Funkcionál

Pokud je mathbf{Y} množina reálných, resp. komplexních čísel, tzn. proměnná g je reálné, resp. komplexní číslo, pak operátor hat A nazýváme (reálným, resp. komplexním) funkcionálem.

Vybrané druhy operátorů

Lineární operátor

Lineární operátor hat A je takový operátor, pro který platí

hat A (sum_i c_i f_i) = sum_i c_i (hat A f_i),

kde fi jsou libovolné funkce a ci jsou libovolné koeficienty.


Linearitu operátoru hat A je také možné vyjádřit tak, že pokud existují libovolné koeficienty c1,c2 a libovolné funkce f1,f2,g1,g2 takové, že g_1 = hat A f_1 a g_2 = hat A f_2, pak platí

hat A (c_1 f_1 + c_2 f_2) = c_1 hat A f_1 + c_2 hat A f_2 = c_1 g_1 + c_2 g_2

Antilineární operátor

Operátor označujeme jako antilineární, jestliže platí

hat A sum_i c_i f_i = sum_i c_i^* hat A f_i,

kde fi jsou libovolné funkce a c_i^* jsou koeficienty komplexně sdružené k ci.

Operátor identity

Důležitým operátorem je tzv. operátor identity (jednotkový operátor) hat I, pro který platí

hat I f = f

Působením operátoru identity hat I tedy nedochází k žádné změně.

Totožné operátory

Pokud pro dva operátory hat A, hat B z X do Y platí hat A f = hat B f pro každé f in mathbf{X}, pak říkáme, že oba operátory jsou totožné.

Spojitý operátor

Operátor hat A se nazývá spojitý v bodě f_0 in mathbf{X}, jestliže pro každou posloupnost prvků {fn} z mathbf{X}, pro kterou v prostoru mathbf{X} platí f_n 	o f_0, platí také hat A f_n 	o hat A f_0, tzn. g_n 	o g_0, v prostoru mathbf{Y}.

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě f_1 in mathbf{X}, je spojitý v každém bodě f in mathbf{X}.

Omezený operátor

Operátor hat A nazveme ohraničeným (omezeným) operátorem tehdy, jestliže existuje takové ? > 0 (nezávislé na f), že pro každé f in mathbf{X} platí

{|hat A f|}_mathbf{Y} leq mu {|f|}_mathbf{X},

kde {|f|}_mathbf{X} je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a {|hat A f|}_mathbf{Y} je norma prvku hat A f v prostoru Y.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

Infimum čísel ? operátoru hat A představuje tzv. normu operátoru |hat A|, tzn.

|hat A| = inf mu

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel {|hat A f|}_mathbf{Y} pro všechny jednotkové prvky f, tzn.

|hat A|  = sup_{{|f|}_mathbf{X} = 1, f in mathbf{X}} {|hat A f|}_mathbf{Y}

Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor

Operátor hat A označíme jako symetrický, jestliže platí

langle f|hat A g
angle = langle hat A f|g
angle

kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.

Omezený symetrický operátor označujeme jako hermiteovský.

Operátor hat A označíme jako antihermiteovský, je-li operátor mathrm{i} hat A hermiteovský.


K operátoru hat A existuje sdružený operátor {hat A}^+, který splňuje vztah

langle f|{hat A}^+ g
angle = langle hat A f|g
angle

neboli

langle f|{hat A}^+ g
angle = {langle g|hat A f
angle}^*

Platí vztahy

|{hat A}^+| = |hat A|
{({hat A}^+)}^+ = hat A
{(hat A + hat B)}^+ = {hat A}^+ + {hat B}^+
{(hat A hat B)}^+ = {hat B}^+ {hat A}^+
{(lambda hat B)}^+ = lambda^* {hat A}^+

Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

{hat A}^+ = hat A

Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor hat A je pozitivní, když pro každé |u
angle platí

langle u|hat A|u
angle ge 0

Operátor označujeme jako normální, když platí

[hat A,{hat A}^+] = 0,

kde [,] označují komutátor.

Inverzní operátor

Operátor {hat A}^{-1} nazveme inverzním operátorem k hat A, pokud platí

hat A {hat A}^{-1} = {hat A}^{-1} hat A = hat I,

kde hat I představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)

{(hat A hat B)}^{-1} = {hat B}^{-1} {hat A}^{-1}
{({hat A}^+)}^{-1} = {({hat A}^{-1})}^+

Unitární operátor

Operátor hat A označíme jako unitární, pokud platí

{hat A}^+ = {hat A}^{-1}

neboli

{hat A}^+ hat A = hat A {hat A}^+ = hat I,

kde hat I je operátor identity.

Pro libovolný unitární operátor hat A platí

langle hat A u|hat A v
angle = langle u|v
angle


Jestliže operátor hat M splňuje vztah

langle hat M u|hat M v
angle = langle u|v 
angle,

pak operátor hat M označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah {hat M}^+ hat M = hat I, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být hat M {hat M}^+ 
e hat I.

Projekční operátor

Omezený operátor hat E označíme jako projekční, splňuje-li podmínky

hat E = {hat E}^+ = {hat E}^2

Je-li hat E projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

{hat E}^prime = hat I - hat E,

kde hat I představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

hat E + {hat E}^prime = hat I
hat E {hat E}^prime = 0

Je-li |psi_k
angle vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na |psi_k
angle lze vyjádřit jako

hat E_k = |psi_k
anglelanglepsi_k|

Jestliže množina vektorů {|psi_k
angle} tvoří ortonormální bázi podprostoru H1, pak projekční operátor do H_1 subset H vyjádříme jako

sum_k hat E_k = sum_k |psi_k
anglelanglepsi_k|

Pokud je H1 = H, pak je projekční operátor operátorem identity, tzn.

sum_k |psi_k
anglelanglepsi_k| = hat I

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Operace s operátory

Součtem dvou operátorů hat A, hat B získáme operátor hat C = hat A + hat B, pro který platí

hat C u = (hat A + hat B) u = hat A u + hat B u

Operátor hat C označíme jako součin operátorů hat A a hat B, tzn. hat C= hat A hat B, pokud pro každé u platí

hat C u = hat A (hat B u)

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, např. {hat A}^2 = hat A hat A.

Násobení operátorů není komutativní, tzn. v obecném případě pro dva operátory hat A, hat B neplatí hat A hat B = hat B hat A. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů hat A, hat B, zavádíme tzv. komutátor (algebra) operátorů

[hat A,hat B] = {[hat A, hat B]}_- = hat A hat B - hat B hat A

Dva nekomutativní operátory hat A, hat B splňují pro některé u vztah

[hat A,hat B] 
e 0

Dva komutativní operátory hat A, hat B splňují pro libovolné u vztah

[hat A,hat B] = 0


Jsou-li lineární hermiteovské operátory hat A, hat B komutativní, pak mají společné vlastní funkce.


Jestliže operátory hat A, hat B komutují, tzn. [hat A,hat B]=0, pak pro libovolné funkce f, g platí

[f(hat A),g(hat B)] = 0


Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů

{hat A,hat B} = {[hat A,hat B]}_+ = hat A hat B + hat B hat A

Z definice komutátoru a antikomutátoru dostaneme následující vztahy:

[hat A,hat B] = -[hat B, hat A]
[hat A,hat B + hat C] = [hat A,hat B] + [hat A, hat C]
[hat A,hat B hat C] = [hat A,hat B]hat C + hat B[hat A,hat C] = {hat A,hat B}hat C - hat B{hat A,hat C}
[hat A hat B,hat C] = hat A[hat B,hat C] + [hat A,hat C]hat B = hat A {hat B,hat C} - {hat A,hat C}hat B
{hat A,hat B} = {hat B,hat A}
{hat A,hat B + hat C} = {hat A,hat B} + {hat A,hat C}
{hat A,hat B hat C} = {hat A,hat B}hat C - hat B[hat A,hat C] = hat B{hat C,hat A} - [hat B,hat A]hat C
{hat A hat B,hat C} = hat A{hat B,hat C} - [hat A,hat C]hat B = {hat C,hat A}hat B - hat A[hat C,hat B]

Platí také tzv. Jacobiho identita

[hat A,[hat B,hat C]] + [hat B,[hat C,hat A]] + [hat C,[hat A,hat B]]=0

Příklad

  • Příkladem lineárního operátoru může být operátor hat A = frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x.
  • Nelineárním operátorem je operátor hat A = sin. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f dostaneme hat A f = sin f.

Použití

Operátory mají významnou aplikaci v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programů v programovacích jazycích.

Související články




Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?



Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!