Normální podgrupa

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23170 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata



Normální podgrupa

Normální podgrupa mathbb{P} grupy (mathbb{G},cdot) je taková její podgrupa, pro kterou navíc platí

forall g in mathbb{G} quad g cdot mathbb{P} equiv {g cdot p, p in mathbb{P} } = {p cdot g, p in mathbb{P} } equiv mathbb{P} cdot g

Obsah

Jiná definice

Podmínku forall g in mathbb{G} quad g cdot mathbb{P} = mathbb{P} cdot g  lze přepsat do tvaru forall g in mathbb{G} quad g cdot mathbb{P} cdot g^{-1} = mathbb{P}. Z toho můžeme odvodit následující ekvivalentní definici normální podgrupy:

mathbb{P} je normální podgrupa (mathbb{G},cdot), pokud je to její podgrupa a navíc platí

forall g in mathbb{G}, p in mathbb{P} quad g cdot p cdot g^{-1} in mathbb{P}.

Z tohoto vztahu plyne, že  g cdot mathbb{P} cdot g^{-1} subseteq mathbb{P}, a protože platí i pro g - 1: g^{-1} cdot mathbb{P} cdot g subseteq mathbb{P} Leftrightarrow mathbb{P} subseteq g cdot mathbb{P} cdot g^{-1}, je ekvivalentní quad g cdot mathbb{P} cdot g^{-1} = mathbb{P}.

Proto se také někdy normální podgrupě říká invariantní vůči vnitřním automorfismům p mapsto g cdot p cdot g^{-1}.

Příklady normálních podgrup

  • Jádro homomorfismu varphi:mathbb{G} 	o mathbb{H} je normální podgrupou, protože pokud p je prvkem jádra, tedy platí-li varphi(p) = e_{mathbb{H}}, pak i varphi(g cdot p cdot g^{-1}) = varphi(g) varphi(p) varphi(g)^{-1} = varphi(g) varphi(g)^{-1} = e_{mathbb{H}} a tedy i g cdot p cdot g^{-1} je prvkem jádra.

Centrum grupy

Mějme grupu G. Její podmnožina Z(G) všech prvků s takových, že pro všechna g in G platí s cdot g = g cdot s, se nazývá centrum grupy G. Centrum grupy G je normální podgrupou grupy G.

Související články

  • Faktorgrupa


Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?



Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!