Elipsoid setrvačnosti

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23170 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata



Elipsoid setrvačnosti

Elipsoid setrvačnosti je plocha tvořená koncovými body vektorů úhlové rychlosti v různých směrech za předpokladu, že kinetická energie rotačního pohybu je konstantní.

Obsah

Rovnice elisoidu

Moment setrvačnosti JS vzhledem k ose S, která svírá se souřadnicovými osami x,y,z úhly ?,?,? je vyjádřen vztahem

J_S = J_xcos^2alpha + J_ycos^2eta + J_zcos^2gamma - 2D_{yz}cosetacosgamma - 2D_{zx}cosgammacosalpha - 2D_{xy}cosalphacoseta ,

Mění-li se směr osy S, mění se také velikost momentu setrvačnosti JS. Sledujeme-li při různých volbách osy S a konstantní hodnotě kinetické energie Ek0 úhlové rychlosti ? pro daný směr osy S, pak koncové body vektorů ? budou tvořit určitou právě plochu označovanou jako elipsoid setrvačnosti.


Elipsoid má tři hlavní osy. Označíme-li ?1,?2,?3 velikosti hlavních poloos a souřadnice vzhledem k hlavním osám elipsoidu jako ?,?,?, lze rovnici elipsoidu psát ve tvaru

{left(frac{xi}{omega_1}
ight)}^2 + {left(frac{eta}{omega_2}
ight)}^2 + {left(frac{zeta}{omega_3}
ight)}^2 = 1

Vyjádření momentu setrvačnosti

Ze vztahu pro kinetickou energii rotačního pohybu tělesa lze získat vztah

J_S = frac{2E_{k0}}{omega^2}

Lze předpokládat, že

J_i = frac{2E_{k0}}{omega_i^2}, pro i = 1,2,3,

kde Ji jsou momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k hlavním osám elipsoidu setrvačnosti. Rovnici elipsoidu setrvačnosti tedy můžeme přepsat do tvaru

J1?2 + J2?2 + J3?2 = 2Ek0

To lze také zapsat jako

2E_{k0} = omega_1^2 J_1 + omega_2^2 J_2 + omega_3^2 J_3


Pokud osa S svírá s hlavními osami elipsoidu setrvačnosti úhly ?0,?0,?0, budou souřadnice polohy bodu na elipsoidu setrvačnosti, který přísluší ose S

xi = omegacosalpha_0,, eta = omegacoseta_0,, zeta = omegacosgamma_0

Moment setrvačnosti JS k ose S je možné vyjádřit jako

J_S = frac{2E_{k0}}{omega^2} = J_1cos^2alpha_0 + J_2cos^2eta_0 + J_3cos^2gamma_0

V tomto vztahu se nevyskytují smíšené členy (deviační momenty). To tedy znamená, že deviační momenty vzhledem k hlavním osám jsou nulové.


V obecném případě má elipsoid setrvačnosti všechny hlavní osy různě velké, takže lze psát J1 < J2 < J3, neboť všechny osy elipsoidu jsou různé a lze je tedy seřadit podle velikosti. Hlavní osy elipsoidu jsou k sobě navzájem kolmé. Je-li elipsoid setrvačnosti rotační, jsou dvě jeho osy stejně velké a tedy i dva ze tří hlavních momentů setrvačnosti jsou stejně velké. Má-li totiž těleso rovinu souměrnosti, pak je každá kolmice k této rovině hlavní osou setrvačnosti. Má-li těleso osu souměrnosti, je tato osa jednou ze tří hlavních os souměrnosti.

Centrální elipsoid setrvačnosti

Ačkoli se všechny dosavadní úvahy týkaly elipsoidu setrvačnosti, který byl umístěn v hmotném středu tělesa, středem elipsoidu setrvačnosti může být obecně libovolný bod tělesa. Elipsoid setrvačnosti, jehož střed leží v těžišti tělesa, se nazývá centrální elipsoid setrvačnosti.


Moment setrvačnosti k libovolné ose se určí tak, že se určí moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa a následným použitím Steinerovy věty se určí moment kolem dané osy, tzn.

J_S = J_1cos^2alpha_0 + J_2cos^2eta_0 + J_3cos^2gamma_0 + mr_T^2,

kde ?0,?0,?0 jsou úhly, které svírá osa S s hlavními osami setrvačnosti, m je celková hmotnost tělesa a rT je vzdálenost osy S od rovnoběžné osy jdoucí těžištěm tělesa.

Související články



Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?



Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!