Centrovaný systém

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23165 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata



Centrovaný systém

Centrovaný systém je matematický pojem z oboru teorie množin, týkající se konkrétně studia systémů podmnožin nějaké dané množiny.

Obsah

Definice

Předpokládejme, že  S ,! je množina podmnožin množiny  X ,! (někdy se také říká, že  S ,! je systém množin na  X ,! ), tj.  S subseteq mathbb{P}(X) ,! , kde  mathbb{P}(X) ,! je potenční množina množiny  X ,! . O množině  S ,! řekneme, že se jedná o centrovaný systém, pokud je průnik každé její konečné podmnožiny neprázdný:
 ( forall y_1,y_2,ldots,y_n isin S)( y_1 cap y_2 cap ldots cap y_n 
eq emptyset) ,!

Vlastnosti a příklady

Triviální centrovaný systém

Pokud má celý systém  S ,! neprázdný průnik, pak je centrovaný - pro jeho libovolnou neprázdnou podmnožinu  Y subseteq S ,! (nejen konečnou) platí
 emptyset 
eq igcap S subseteq igcap Y implies emptyset 
eq igcap Y ,!

Netriviální centrovaný systém

Otázka zní, zda existují i nějaké netriviální centrované systémy - tj. takové, že  igcap S = emptyset ,! , ale přitom je systém (vzhledem ke konečným podmnožinám) centrovaný.

Uvažujme o nekonečném systému množin přirozených čísel
 S = { u_1,u_2,u_3,u_4,ldots } ,! , kde  u_i ,! je množina všech nenulových násobků čísla  i ,! , tj.

  •  u_1 = { 1,2,3,ldots } ,!
  •  u_2 = { 2,4,6,ldots } ,!
  •  u_3 = { 3,6,9,ldots } ,!
  •  u_4 = { 4,8,12,ldots } ,!
  •  ldots ,!

Jedná se o centrovaný systém - vezmeme-li jakoukoliv jeho konečnou podmnožinu a určíme číslo  k ,! jako nejmenší společný násobek indexů prvků této konečné podmnožiny  S ,! (například pro  { s_3, s_5, s_6, s_8 } ,! je  k = 120 ,! ), pak  u_k ,! je (neprázdným) průnikem této podmnožiny.
Navíc se jedná o netriviální centrovaný systém - pokud by byl průnik celého systému  igcap S ,! neprázdný, pak by muselo existovat nějaké přirozené číslo  n isin igcap S ,! a tím pádem by muselo mimo jiné být  n isin u_{n+1} ,! , což je nesmysl.

Vztah centrovaných systémů a filtrů

Jedním z příkladů pro centrovaný systém jsou filtry. Filtr má nejen neprázdný průnik každé konečné podmnožiny - z podmínky, že filtr musí být dolů usměrněná množina dokonce plyne, že filtr musí sám v sobě obsahovat všechny průniky svých konečných podmnožin.

To pro centrovaný systém platit nemusí - například systém  { {0,1,2 },{ 1,2,3 } } ,! je centrovaný, ale rozhodně to není dolů usměrněná množina (neobsahuje totiž množinu  {1,2 } = {0,1,2 } cap { 1,2,3 } ,! . Stejně tak nemusí centrovaný systém obsahovat s každou svou množinou i každou její nadmnožinu - nemusí to tedy být horní množina, kdežto filtr ano. To znamená, že zdaleka ne každý centrovaný systém je filtrem.

Na druhou stranu lze každý centrovaný systém  S subseteq mathbb{P}(X) ,! rozšířit do nějakého filtru na množině  X ,! . Snadno lze ukázat, že množina
 F(S) = { Y subseteq X : (exist Q isin [S]^{<omega})(igcap Q subseteq Y) } ,!
je nejmenší filtr na  X ,! , který v sobě obsahuje  S ,! .

Výše uvedený zápis vypadá sice hrůzostrašně, ale říká v podstatě toto:

  1. Vezmu centrovaný systém  S ,! .
  2. Přidám k němu všechny průniky jeho konečných podmnožin (čímž dostanu dolů usměrněnou nadmnožinu  S ,! ).
  3. K výsledku pak přidám pro každý její prvek i všechny jeho nadmnožiny (čímž dostanu horní nadmnožinu  S ,! , která je stále dolů usměrněná, takže výsledek je filtr).

Hlavní věta o ultrafiltrech

Úvaha provedená v předchozím odstavci vlastně neříká nic jiného, než že každý centrovaný systém lze rozšířit (přidáním dalších množin) na filtr. Pokud tento poznatek zkombinuji s tím, že každý filtr lze (podle principu maximality rozšířit do ultrafiltru, dostávám tvrzení nazývané v teorii množin hlavní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

Související články

Související články obsahuje
Portál Matematika


Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?



Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!