Centrální limitní věta

Kategorie: Nezařazeno (celkem: 23170 referátů a seminárek)

Informace o referátu:

Příbuzná témata



Centrální limitní věta

Centrální limitní věta v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož (za určitých podmínek diskutovaných níže) rozdělení výběrového průměru po vhodné normalizaci blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné veličině s uvedeným chováním říkáme, že má asymptoticky normální rozdělení.

Centrální limitní větu lze vyjádřit různými způsoby.

K důkazu se dnes nejčastěji používají charakteristické funkce.

Obsah

Moivreova-Laplaceova věta

Nejjednodušším vyjádřením centrální limitní věty je Moivreova-Laplaceova věta. Podle této věty platí, že pokud součtem n,! nezávislých náhodných veličin X_i,! s alternativním rozdělením (s parametrem pi,!) vytvoříme veličinu X,!, která má binomické rozdělení s parametry n,! a pi,!, pak pro normovanou náhodnou veličinu

U = frac{X-npi}{sqrt{npi (1-pi)}},!

platí vztah

lim_{n	oinfty} P(U<u) = Phi(u),!

pro -infty<u<infty,!, kde Phi(u),! je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení operatorname{N}(0,1),!.

Podle Moivreovy-Laplaceovy věty tedy při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu.

Lévyho-Lindebergova věta

Moivreovu-Laplaceovu větu lze zobecnit na větu Lévyho-Lindebergovu. Pokud je podle této věty náhodná veličina X,! součtem n,! vzájemně nezávislých náhodných veličin X_1, X_2, ..., X_n,! se shodným rozdělením libovolného typu, s konečnou střední hodnotou operatorname{E}(X_i)=mu,! a konečným rozptylem D(X_i)=sigma^2,!, pak pro normovanou náhodnou veličinu

U = frac{X-nmu}{sqrt{nsigma^2}},!

platí opět vztah

lim_{n	oinfty} P(U<u) = Phi(u),!

pro -infty<u<infty,!, kde Phi(u),! je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení operatorname{N}(0,1),!. Veličina U,! má tedy asymptoticky normální rozdělení.

Porovnejte toto chování se zákonem velkých čísel, který pro tento případ dává

Y = frac{X-nmu}{n} = frac{sum_{i=1}^n left(X_i-operatorname{E}(X_i)
ight)}{n} 	o 0,! skoro jistě.

Ljapunovova věta

Nejobecnějším vyjádřením centrální limitní věty pro součet nezávislých náhodných veličin je věta Ljapunovova. Ta říká, že rozdělení součtu vzájemně nezávislých veličin X_i,! konverguje k normálnímu rozdělení i v případě, že veličiny X_i,! nemají stejné rozdělení pravděpodobnosti.

Nechť náhodná veličina X,! je součtem vzájemně nezávislých veličin X_i,!, které mají konečné střední hodnoty operatorname{E}(X_i) < infty ,! a konečné třetí centrální momenty operatorname{E}left({left|X_i-operatorname{E}(X_i)
ight|}^3
ight) < infty,!. Nechť dále platí Ljapunovova podmínka

lim_{n	oinfty} frac{sqrt[3]{sum_{i=1}^n operatorname{E}left({left|X_i-operatorname{E}(X_i)
ight|}^3
ight)}}{sqrt{sum_{i=1}^n D(X_i)}} = 0,!.
Pak pro normovanou náhodnou veličinu
U = frac{X - sum_{i=1}^n operatorname{E}(X_i)}{sqrt{sum_{i=1}^n D(X_i)}},!

platí vztah

lim_{n	oinfty} P(U<u) = Phi(u),!

pro -infty<u<infty,!, kde Phi(u),! je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení operatorname{N}(0,1),!.

Související články




Nový příspěvek


Ochrana proti spamu. Kolik je 2x4?



Na-mobil.cz

Spřátelené weby

Přidat stránku k oblíbeným

Nejnovější v diskusi

Diskusní fórum »

TIP: Chcete zkrátit dlouho chvíli sobě nebo blízkému?
Klikněte na Puzzle-prodej.cz a vyberte si z 5000 motivů skladem!
TIP: Hračky a hry za dobré ceny?
Klikněte na Hračky obchod.cz a vyberte si z tisícovky hraček skladem!